Фамилия Дарменюк — одна из тех, что не укладываются в простую схему «прозвище + патронимический суффикс». Её стоит разбирать, начиная с суффикса, потому что он сразу сужает круг поиска. Формант -юк — типичный для западноукраинских и белорусских фамилий, особенно распространённый на Волыни, в Полесье и на Подолье. Он означает «маленький» или «сын», то есть Дарменюк — это «сын Дарменя» или «потомок Дармена». Но вот с самим именем Дармень всё сложнее.

Самая прямая и правдоподобная версия — связь с крестильным именем Дормидонт (из греческого «доримедонт» — «повелитель копий»). В народном произношении это имя сильно искажалось: Дормидонт превращался в Дормен, Дармен, а затем в Дарменюк. Такое стяжение — обычное дело для украинской и белорусской фонетики, где многосложные церковные имена ужимали до двух-трёх слогов. Если это так, то прародитель Дарменюков был крещён Дормидонтом, а его дети и внуки закрепили домашнюю форму как фамилию.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая — прозвище от диалектного глагола «дармувати» (украинское — «бездельничать», «жить даром») или «дарменний» (польское darmienny — «бесплатный», «даровой»). В этом случае Дармень — человек, которого считали дармоедом или тем, кто получил что-то без усилий. Такие прозвища были нередки в крестьянской среде, но они редко становились основой для фамилий с суффиксом -юк, который больше тяготеет к именам, а не к прозвищам.

Фамилия редкая, и в дореволюционных метрических книгах она почти не встречается за пределами Волынской и Киевской губерний. Это говорит о том, что род был локальным, не размножившимся по всей империи. Носители Дарменюк почти наверняка были крестьянами или мещанами — в дворянские гербовники эта фамилия не попала, и следов шляхетского происхождения нет. В советское время фамилия сохранилась в тех же западных областях Украины, а после миграций — рассеялась по России и Казахстану, но осталась малочисленной.

Если сравнивать с однокоренными: Дарменко, Дарменов — это более восточные варианты с суффиксами -ко и -ов, а Дарменюк — именно западный, украинский след. Так что, скорее всего, ваши предки — выходцы из исторической Волыни, носившие имя Дормидонт в его простонародной версии.