Фамилия Дасайкина — редкий случай, когда географическая привязка оказывается прочнее и яснее, чем попытка разобрать корень по словарям. Скорее всего, перед нами не исконно русская, а переоформленная мордовская (эрзянская или мокшанская) фамилия. Её основа — дохристианское мордовское имя Дасайка, которое в свою очередь восходит к числительному «даса» — «десять». В финно-угорской традиции имена-числители были распространены: так родители могли назвать десятого по счёту ребёнка или того, кто родился в «десятый» день после какого-то события.

Суффикс -ин в фамилии Дасайкина указывает на принадлежность: «чей?» — Дасайкин, то есть сын или потомок Дасайки. Это стандартная модель для русских фамилий, образованных от имён и прозвищ на -а/-я. Но если бы фамилия была исконно великорусской, мы бы ожидали более прозрачную основу: от слова «дасай» (которого в русском языке нет) или от глагола «дасать» (диалектного, означающего «колотить», «бить»). Однако версия с мордовским происхождением выглядит убедительнее: в Поволжье, особенно на территории современных Мордовии, Нижегородской, Пензенской и Ульяновской областей, фамилии с корнем «дас-» встречаются чаще, чем в центральных регионах России.

В метрических книгах XIX века фамилия Дасайкин (и её женская форма Дасайкина) фиксируется именно в селениях бывшего Ардатовского уезда Симбирской губернии и соседних уездов — там, где мордовское население переходило в православие и получало фамилии по крестильным или мирским именам. Интересно, что параллельно существовал вариант Дасаев — с более поздним русским суффиксом -ев, но Дасайкины сохранили архаичную форму, буквально означающую «маленький Дасай».

Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка были государственными или удельными крестьянами мордовского происхождения из Среднего Поволжья. Никакого дворянства, купечества или известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано — перед нами сугубо народная, крестьянская фамилия, которая ценна именно своей локальной привязкой и сохранением древнего именного пласта.