Фамилия Дашевская — это не «Дашевксая», как могло показаться с первого взгляда: опечатка в написании встречается, но верный вариант — через «с». Она принадлежит к типу польско-украинских фамилий на -ский/-ская, которые в XVI–XVII веках носили в основном шляхта, духовенство и зажиточные мещане. Суффикс -ск- указывает на связь с местностью: такую фамилию давали тому, кто владел землёй или жил в населённом пункте с похожим названием.

Основа фамилии — топоним Дашев. На карте Украины есть село Дашев в Винницкой области (историческое Подолье), а также несколько хуторов с таким именем в Беларуси. Вероятнее всего, предок носителя фамилии был выходцем из одного из этих мест. Название самого села, скорее всего, восходит к личному имени Даш — сокращённой форме от Даниил или Дорофей (в народной речи «Даш» или «Даша»). В таком случае Дашев — это «поселение Даша», а Дашевский — «тот, кто оттуда родом».

Менее распространённая, но возможная версия — происхождение от прозвища Дашко (уменьшительное от того же Даниила). В документах XVII века на Подолье действительно фиксировались казаки и мещане с именем Дашко, которые могли дать начало фамилии по месту жительства.

В отличие от русских фамилий крестьянского сословия (на -ов, -ев), Дашевская — фамилия географическая, типичная для западнорусских земель, где польская модель именования смешалась с местной. Носители этой фамилии в XIX веке встречались среди православного духовенства Киевской губернии и мелкой шляхты Волыни. Сегодня она нередка в Украине, Беларуси и среди потомков эмигрантов первой волны.

Если ваша фамилия именно Дашевская, а не Дашевксая, то корень у неё ясный, без тёмных мест. Спорных гипотез здесь нет: связь с названием села — самая прямая и подтверждённая географией.