Фамилия Дауей — редкий пример, где написание говорит о происхождении больше, чем звучание. По-русски её записывают на слух, но исходная форма, скорее всего, иноязычная. В русской традиции нет суффикса -ей, который образовывал бы фамилию от имени или прозвища. Поэтому сразу ясно: корни фамилии не славянские, а западноевропейские, скорее всего английские или французские.

Самая вероятная версия — фамилия восходит к английской Douay или Douai. Это топоним: город Дуэ на севере Франции (историческая область Фландрия). В XVI–XVII веках этот город был центром католической эмиграции из Англии. Там издавали знаменитую «Дуэ-Реймсскую Библию» — первый английский перевод Писания для католиков. Если предки носителя фамилии были из английских католиков, которые учились или жили в Дуэ, прозвище «Дуэец» или «Дауей» могло закрепиться как фамилия. В русской записи французское Douai (читается «Дуэ») превратилось в «Дауей» из-за того, что буквосочетание ou передавали как «ау», а конечное -ai — как «ей».

Второй вариант — фамилия могла возникнуть из ирландской фамилии O'Dea или O'Dee. При переезде в Россию или при записи в документах звук O' мог отпасть, а корень трансформироваться в «Дауей» под влиянием местного произношения. Такое встречалось среди иностранных специалистов, приглашённых в Российскую империю в XVIII–XIX веках: их фамилии переписывали на слух, не заботясь о точной передаче.

В любом случае, фамилия Дауей — не массовая и не древняя в русском контексте. Она не встречается в старых переписных книгах и боярских списках. Если вы встретили её в современной России, скорее всего, носители — потомки переселенцев конца XIX — начала XX века, либо люди, чьи предки получили фамилию при записи иностранной фамилии в советских паспортах. Географически фамилия не привязана к какому-то одному региону — её носители рассеяны, и каждый случай стоит проверять отдельно по семейным архивам.