Фамилия Дая — одна из тех, что ставит в тупик при первом взгляде. В ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, а окончание -а наводит на мысль об иноязычном происхождении. И это верно: перед нами фамилия, которая с большой вероятностью пришла в русский обиход из кавказских или тюркских языков, либо является результатом поздней русификации (записи по отчеству без добавления суффикса).

Разбирать её по модели «основа + суффикс» бессмысленно — здесь нет славянского форманта. Сама основа «Дая» (или «Дай») в тюркских языках может означать «гора», «возвышенность» (ср. с казахским «дай» — холм). В чеченском и ингушском языках «Дая» — это личное имя, которое переводится как «родной», «любимый» или «отец». В таком случае фамилия Дая — это не прозвище, а застывшее имя, которое стали передавать по наследству. Подобные бессуффиксные фамилии среди горских народов Северного Кавказа — обычное дело: они не добавляли к имени окончания, а носили его как есть.

Вторая, менее вероятная версия — арабский корень. В арабском языке есть слово «дая» (ضَيَّاع), означающее «потеря» или «пропажа», но как личное имя или прозвище оно почти не встречается. Поэтому эту версию можно отбросить как натянутую.

Географически фамилия Дая редка и встречается в основном в Чечне, Ингушетии, а также среди выходцев из этих республик, переселившихся в центральную Россию. В метрических книгах XIX века её почти нет — она не попала в списки дворянских или купеческих родов. Социально носители фамилии — скорее всего, потомки горцев, которые в советское время получили паспорта и зафиксировали родовое имя как фамилию. Никакой связи с ремеслом или сословием у неё нет.

Если вы встретили фамилию Дая у человека с русскими корнями, скорее всего, это результат поздней записи или описки: например, при переписи могли сократить отчество «Даянович» до фамилии «Дая». Но в подавляющем большинстве случаев это кавказская фамилия, означающая «сын Дая» или просто «принадлежащий роду Дая».