Фамилия Дайреджи — редкий случай, когда прозвище почти полностью сохранило свою исходную форму, лишь слегка обрусев. Её основа — тюркское слово «дайыр» (варианты: тайыр, дайир), которое в разных диалектах означает «ровный», «гладкий», «плоский» или «широкий». Вторая часть «-джи» — это тюркский суффикс деятеля, профессионала. Таким образом, Дайреджи — это «делающий ровным», «выравнивающий», «разравниватель». В быту так могли прозвать человека, занимающегося строительством или обработкой земли: того, кто выравнивал площадки под постройки, разбивал дороги или ровнял поле под пашню.

Словообразовательная модель здесь необычна для русских фамилий: суффикс -джи в русском языке не встречается, и фамилия не получила типичного окончания -ов или -ин. Это говорит о том, что фамилию зафиксировали в документах в почти неизменном виде, без адаптации под славянскую грамматику. Такое часто случалось в южных и восточных губерниях Российской империи, где жили тюркские народы, а также среди тех, кто переходил в православие и получал фамилию от своего прежнего прозвища.

Географически фамилия Дайреджи тяготеет к Крыму, Азовскому побережью и Северному Кавказу — регионам, где исторически соседствовали русские, греки, крымские татары и турки. Не исключено, что носители фамилии были потомками греков-урумов или крымских татар, чьи прозвища при записи в метрические книги не получили русских суффиксов.

Встречается и альтернативная версия: связь с турецким «dayı» — «дядя по материнской линии», но тогда форма была бы «Даяджи» или «Даиджи». Версия с «дайыр» и суффиксом -джи более прозрачна и лучше объясняет значение прозвища как ремесленного. Сословно предки Дайреджи, скорее всего, были не дворянами, а крестьянами или ремесленниками — людьми, чья работа требовала физического труда и точности.

Сравните с однокоренными фамилиями: Тайырджи (с тем же корнем, но в другой огласовке), или более распространёнными Якубджи, Айджи — все они образованы по одной модели и указывают на тюркское происхождение. Фамилия Дайреджи — это не столько указание на род занятий, сколько застывшее в документах прозвище мастера, чьё имя не дошло до нас, но чья работа осталась в фамилии.