Фамилия Деьиденко — один из тех случаев, когда написание сразу настораживает. В русском языке нет мягкого знака после «е» в такой позиции, и если это не опечатка, то перед нами редкий фонетический вариант, возникший на стыке диалектного произношения и письменной фиксации. Скорее всего, исходная форма — Деиденко или Дейденко, где мягкий знак появился под влиянием украинской или южнорусской манеры смягчать согласные («день» произносят как «дєн»). В любом случае, основа фамилии — крестильное имя Дей (от Дей, Деймос или даже от греческого «Дий» — Зевс), либо прозвище, связанное с глаголом «деть» (куда-то деть, девать) или «деять» (делать). Но самая вероятная версия — это украинская фамилия от имени Дейко, уменьшительной формы от Демид или Демьян. Суффикс -енко указывает на «малого» или «сына»: Деьиденко — это «сын Дейка». Такая модель образования типична для Левобережной Украины и юга России, где фамилии на -енко массово фиксировались в XVII–XVIII веках среди казачества и крестьян. Если ваш предок носил прозвище Дей (возможно, от слова «дей» — дядя по отцу в некоторых говорах), то фамилия означала «потомок дея». Географически фамилия редкая, встречается в основном в Черниговской и Полтавской областях, а также в Краснодарском крае, куда переселялись украинцы. Сословного барьера у неё не было: так могли писаться и реестровые казаки, и мещане, и крепостные. В написании с мягким знаком — почти наверняка ошибка писаря, который передал произношение «Дейденко» как «Деьиденко», что в итоге закрепилось в документах.