Фамилия Дербяткина — женская форма от Дербяткин, а тот, в свою очередь, образован от прозвища или нецерковного имени Дербятка. Разберём, что могло стоять за этим словом и где искать корни.

Основа «дерб-» в русских говорах имеет несколько значений, и все они связаны с характером или внешностью. В диалектах «дерба» — это или драчун, задира, или же неряха, неопрятный человек. В словаре Владимира Даля есть глагол «дербанить» — драть, рвать, царапать, а также «дербенить» — пить без меры. Таким образом, прозвище Дербятка могли дать человеку с буйным нравом, драчуну, или же тому, кто не следил за собой. Менее вероятна, но возможна связь с «дербень» — так в некоторых областях называли пьяницу.

Суффикс -ятк- в данном случае — уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный. Он характерен для северных и северо-восточных русских говоров. Сравните: Дербятка — примерно как «маленький Дерба» или «Дерба-сын». Такая модель образования типична для фамилий, возникших из внутрисемейных прозвищ: сначала отца звали Дерба, а его сына — Дербятка (по аналогии с тем, как от имени Иван получается Иванятка, Иванёнок). Позже это прозвище закрепилось за всем родом.

Географически фамилия Дербяткины редкая. По данным открытых источников, она встречается в основном в Поволжье и на Урале — в Пермском крае, Удмуртии, Татарстане. Это не случайно: именно в этих регионах активно бытовали прозвищные фамилии на -ятк(а), которые редко проникали в столичные списки дворянства или купечества. Скорее всего, предки носителей фамилии были крестьянами или мастеровыми людьми, а прозвище получили за живой, неуживчивый характер.

В написании фамилии возможна путаница с Дербя́ткиными — от «дербять» (то же, что дербанить). Но разница в ударении: в фамилии Дербяткина ударение чаще падает на второй слог (Дер-бя́т-кина), что сближает её с диалектным «дербя́ка» — задира. Если ваши предки из деревень, где говорили «дерба́», ударение могло сместиться на первый слог.

Итог: фамилия Дербяткина — редкая, диалектная, с яркой характеристикой предка. Она не связана с географическими названиями или профессиями, а прямо указывает на личное качество: скорее всего, на драчливость или неопрятность основателя рода.