Фамилия Доагэ — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, и это сразу выдаёт её нерусское происхождение. В русской традиции нет суффикса -агэ, а сочетание «доа» в начале слова нехарактерно для славянских основ. Скорее всего, перед нами румынская или молдавская фамилия, записанная кириллицей. В румынском языке фамилии на -agiu, -age или -aге часто указывают на род занятий: например, «dogar» (догарь) — бондарь, мастер по изготовлению бочек и деревянной посуды. Отсюда могла возникнуть форма «Dogaru» или «Doga», а «Доагэ» — её фонетический вариант, закрепившийся в документах при переселении в Российскую империю.

Если копнуть глубже, основа «dog-» встречается и в других балканских языках. В турецком «doğa» означает «природа», но для фамилии это маловероятно: прозвища по природным явлениям в Османской империи давали редко, а в Молдавии и Валахии — почти никогда. Более правдоподобна связь с ремеслом: бондари были востребованы в любом селе, и фамилия Доагэ могла закрепиться за целым родом таких мастеров.

Суффикс -э в русской записи — это адаптация румынского окончания, которое в оригинале звучит как -е или -э. В Молдавии и на юго-западе Украины (Одесская, Черновицкая области) такие фамилии встречаются до сих пор, но в центральной России они единичны. Если ваши предки носили фамилию Доагэ, скорее всего, они происходят из среды переселенцев-старообрядцев или крестьян, бежавших от турецкого владычества на Балканах в Бессарабию в XVIII–XIX веках.

Ударение, судя по аналогиям (Доагэ́, как «сапэ́»), падает на последний слог, хотя в бытовой речи могли смещать его на первый — это типично для фамилий, вошедших в русский язык через устную традицию. В официальных документах XIX века фамилию могли записывать с ошибками: Дога, Догаев, Догарь. Вариант Доагэ — наиболее точная передача исходного звучания.