Фамилия Доигань — редкая и неочевидная. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить привычные модели на -ов, -ин или -ский, потому что перед нами фамилия другого типа — чистая основа, без суффикса. Такие фамилии в русской традиции обычно либо поздние (из простых сословий, где фамилию давали без переделки), либо нерусские по корню.

Самое правдоподобное объяснение — фамилия образована от прозвища Доигань. В южнорусских и украинских говорах слово «доигань» могло быть вариантом глагола «доигать» — донимать, докучать, надоедать. Человек с таким прозвищем, вероятно, был навязчивым или требовательным. Но есть и другая, более конкретная версия: в некоторых диалектах «доигань» — это тот, кто постоянно «доигрывает» или доделывает что-то до конца, то есть кропотливый, дотошный работник.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркскими корнями. В казахском и татарском языках есть слово «дойган» (тойган) — сытый, насытившийся. В этом случае прозвище могли дать человеку с хорошим аппетитом или, в переносном смысле, — довольному жизнью. Однако фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов (-ов, -ев), что делает эту версию слабее.

Географически фамилия встречается в основном на юге России, в Ростовской области и Краснодарском крае, а также на востоке Украины. Это подтверждает связь с южнорусской диалектной средой. Суффикса нет, поэтому фамилия не указывает на принадлежность кому-то (как, например, Доиганов — «чей-то сын»), а прямо называет человека по его качеству или занятию.

В итоге: скорее всего, предок носителя фамилии Доигань получил прозвище за свой характер — настойчивый, дотошный или назойливый. Фамилия осталась в той форме, в какой её дали, без изменений, что говорит о её относительно позднем оформлении (XVII–XIX века) и простонародном происхождении.