Фамилия Досочкина — женская форма, а мужская, Досочкин, образована по одной из самых частых в русском языке моделей: от основы на твёрдый согласный с помощью суффикса -ин. Значит, в основе лежит слово «доска», но не в прямом значении «пиломатериал», а скорее в уменьшительно-ласкательной форме «досочка». Именно она и дала фамилию.

Такой суффикс, как -очк-, обычно указывает либо на предмет малого размера, либо на прозвище, данное с оттенком нежности или иронии. Человек по прозвищу Досочка мог быть худым, плоским, как доска, или, наоборот, заниматься изготовлением небольших досок, планочек — например, в столярном или бондарном деле. В северных говорах «досочкой» называли тонкую тесину для кровли, а в некоторых ремёслах — деталь ткацкого станка.

Интересно, что фамилия Досочкин — редкая, её нет в массовых списках русских фамилий XIX века, которые приводят исследователи (например, у Б. Унбегауна в «Русских фамилиях»). Это наводит на мысль, что она могла возникнуть не в центральных губерниях, а на периферии — возможно, на Урале или в Сибири, где переселенцы часто получали прозвища по бытовым предметам. В пользу такой версии говорит и то, что в документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с прозвищем Доска, а Досочка — его закономерное уменьшение.

Если же попробовать связать фамилию с профессией, то «досочник» в некоторых диалектах — мастер, делающий доски для пола или мелкие столярные изделия. Прямых указаний на это в словарях нет, но логика словообразования допускает такую версию.

Коротко: Досочкины — потомки человека, которого в быту называли Досочкой. Почему — из-за внешности или занятия — теперь не установить, но корень у фамилии плотницкий, ремесленный, а не боярский.