Вероятно, фамилия Дрия образована от аналогичного имени (в украинском написании - Дрія). Скорее всего, это краткая форма имени Адриан, которое происходит от римского когномена (личного или родового прозвища) Hadrianus – «адриатический, тот, кто родом с Адриатического моря». Покровителями этого имени считаются мученик Адриан, преподобномученик Адриан Пошехонский, преподобный Адриан, преподобный Адриан Монаенский, преподобный Адриан Волоколамский, преподобный Адриан Ондрусовский, преподобный Адриан Угличский. Существует также и другая версия происхождения этой фамилии, согласно которой в ее основе лежит прозвище, образованное от голландского глагола dreje - «поворачивать». Возможно, прозвище Дрей также было связано с профессией родоначальника.