Фамилия Дрогоморецкий — редкая и неоднозначная. Её основа, скорее всего, не русская, а западнославянская или балканская. Судя по суффиксу -ецкий (вариант -ский), фамилия указывает на происхождение от географического названия: такую форму обычно давали выходцам из определённого места. В данном случае речь идёт о селе Драгомир в Пловдивской области Болгарии. Человека, оттуда родом, могли прозвать Дрогоморец — то есть «житель Драгомира», а его потомки стали Дрогоморецкими.

Само название села Драгомир восходит к польскому имени Драгомир. Это сложное имя составлено из общеславянских корней «дорогой» и «мир» и означает либо «дорогой мир», либо «дороже мира». В истории Польши известен дворянский род Драгомирецких, от которого по одной из версий пошли российские дворяне Драгомировы. Их родоначальник, Антон Иванович Драгомиров, принял русское подданство в 1739 году и осел в Малороссии. Кроме того, в польской геральдике существует герб Дрогомир; некоторые роды, носившие этот герб, позже были внесены в Общий гербовник дворянских родов Российской империи.

Связь фамилии Дрогоморецкий с этими дворянскими родами возможна, но неочевидна. Написание через о в первом слоге (Дрогоморецкий вместо Драгомирецкий) — характерная черта: так в русском языке часто адаптировали польские и украинские фамилии, заменяя «а» на «о» под влиянием акающего произношения или просто при записи на слух. Поэтому ваш предок мог быть как обедневшим шляхтичем из рода Драгомирецких, так и крестьянином, переселившимся из болгарского села и получившим прозвище по месту выхода. Более точный ответ дали бы архивные записи: если фамилия встречается в документах XVIII–XIX веков на территории бывшей Малороссии или юга России, версия о дворянских корнях становится вероятнее.