Фамилия Дружикина — женская форма мужской фамилии Дружикин, которая образована по довольно редкой для русского ономастикона модели. Подавляющее большинство русских фамилий на -ин происходит от основ на -а/-я (Пушкин от Пушка, Ильин от Илья). Но здесь основа — «Дружик», а не «Дружка» или «Дружина». Суффикс -ик в прозвищах часто указывал на уменьшительность или принадлежность к чему-то: Дружик могло быть ласкательным обращением к человеку по имени Дружина (редкое нецерковное имя, означавшее «товарищ», «сподвижник»). В таком случае Дружикин — это «чей?» — сын Дружика, то есть потомок человека, которого в быту звали уменьшительно от Дружины.

Есть и другая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование. В некоторых говорах «дружик» могло быть прозвищем бойкого, общительного человека, того, кто легко сходится с людьми, «дружит». Тогда фамилия изначально несла характеристику личности предка: Дружик — тот, кто всем друг. Суффикс -ин закрепил эту черту за родом.

Географически фамилия Дружикина встречается нечасто, и её очаги, по данным современных исследований, тяготеют к северным и центральным областям России — например, к Вологодчине и Костромской области. Там были распространены нецерковные имена и прозвища, а суффикс -ик в прозвищах встречался чаще, чем на юге. В дворянских родословных книгах эта фамилия не отмечена — скорее всего, носители были из крестьян или мещан, а сама фамилия закрепилась относительно поздно, в XVII–XVIII веках, когда прозвища окончательно переходили в наследственные именования.

На письме фамилию иногда путают с более известной Дружининой, но это разные основы: Дружинин — от полной формы «Дружина», а Дружикин — от сокращённой «Дружик». Ударение в фамилии Дружикина, скорее всего, падает на второй слог: Дру́жикина или Дружи́кина — оба варианта встречаются в речи, и единого правила нет. Если ваши предки были из северных регионов, скорее всего, ударение ставили на первый слог.