Фамилия Дрюева — это женская форма от мужской фамилии Дрюев, которая образовалась по простой и распространенной модели: к основе прозвища или имени добавили типичный русский суффикс принадлежности -ев. Суффикс указывает на то, что родоначальник фамилии был чьим-то сыном или потомком: Дрюев значит «сын Дрюя» или «из рода Дрюя». Вопрос упирается в то, что такое «Дрюй».

Самая прямая версия ведет к диалектному слову «дрюк» — так в южных и западных русских говорах называли жердь, кол, дубину или даже бревно. В переносном смысле «дрюком» могли прозвать высокого, худого или неуклюжего человека, либо, наоборот, того, кто ходил с дубиной и был грубоват. Звуковой переход «к» в «й» в фамилиях встречается: например, от прозвища Дрюк закономерно возникла бы форма Дрюков, но если носитель говорил «Дрюй» (смягченный вариант), то и фамилия закрепилась как Дрюев. Такое смягчение характерно для некоторых говоров, где конечный согласный произносится мягче.

Менее вероятно, но возможно, что основа связана с глаголом «дрючить» — в просторечии это «бить, колотить» или «мучить, изнурять работой». Прозвище Дрюй могли дать человеку с тяжелым характером или тому, кто часто наказывал подчиненных. Однако глагольные прозвища в русской ономастике встречаются реже, чем именные или предметные.

Географически фамилия Дрюев и Дрюева редкая. Она встречается в основном в центральных и южных областях России, а также среди потомков переселенцев на Урал и в Сибирь. Это не дворянская фамилия — она явно крестьянского или мещанского происхождения, что подтверждается и простой словообразовательной моделью, и отсутствием в исторических родословных книгах. Если искать однокоренные фамилии, то ближе всего Дрюков и Дрючков — они образованы от того же корня, но с разными суффиксами.

Таким образом, фамилия Дрюева, скорее всего, ведет начало от прозвища Дрюй, которое дали человеку из-за его внешности или поведения. Ее носители — потомки людей, живших в сельской местности, где слово «дрюк» было в ходу, а прозвища — обычным делом.