Фамилия Дрюцкая — женская форма фамилии Дрюцкий, и её разбор стоит начать с того, что она почти наверняка имеет топонимическое происхождение. В основе лежит название населённого пункта, скорее всего, Дрюцк или Дрюцкое. Такие фамилии на -ский/-цкий в старину часто получали дворяне и помещики по названию своих владений, но позже они распространились и среди духовенства, а также крестьян, переселившихся из конкретного села.

Конкретный топоним Дрюцк может быть связан с рекой Друть (приток Днепра) в Беларуси. В исторических источниках упоминается город Друцк (Дрютеск) — центр удельного княжества. Если фамилия действительно восходит к этому городу, то её первоначальный носитель мог быть выходцем из тех мест или владельцем земель на Друти. В таком случае Дрюцкий — это вариант написания, возникший из-за местного произношения или диалектной замены «у» на «ю» (ср. Друцкий и Дрюцкий).

Суффикс -цк- указывает на принадлежность к месту, а окончание -ая — на женский род. В русской традиции фамилии на -ский/-цкая нередко давали по названию вотчины, но к XIX веку они могли закрепиться за людьми непривилегированных сословий, если те переезжали из деревни с таким именем. Менее вероятна, но возможна связь с прозвищем Дрюк (от диалектного «дрюк» — палка, жердь), но тогда фамилия скорее звучала бы как Дрюков или Дрюкин, а не Дрюцкий.

Географически фамилия Дрюцкая встречается в основном в западных регионах России и в Беларуси, что подтверждает её возможную привязку к историческому Друцку. Носители фамилии, скорее всего, потомки людей, чьи предки либо владели землёй в тех краях, либо просто были записаны как «дрюцкие» — то есть «из Дрюцка». Поскольку фамилия редкая, её этимология не вызывает споров среди ономастов: топонимическая версия остаётся основной.