Фамилия Дрюша — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов (-ов, -ев, -ин), что сразу наводит на мысль: либо перед нами украинская или белорусская модель на -а, либо фамилия изначально была прозвищем, которое застыло в форме именительного падежа.

Самый прямой путь — от имени Андрей. В просторечии и диалектах это имя сокращали до Дрюша (ср. Дрюня, Дрюха). Уменьшительно-ласкательная форма Дрюша могла стать прозвищем, а затем и фамилией, если её закрепили за главой семьи без добавления патронимического суффикса. Такое встречается в южнорусских и украинских землях: например, фамилии Дорош, Дронь, Дрюк — все они восходят к Андрею через разные стадии редукции.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая: от диалектного слова «дрюк» (палка, жердь, дубина). В таком случае Дрюша — это человек, которого прозвали за рост или характер: высокий, худой, либо, наоборот, грубый и упрямый. Однако для образования фамилии напрямую от «дрюк» форма «Дрюша» нехарактерна: скорее был бы Дрюков или Дрюченко.

Третья, экзотическая гипотеза — связь с цыганским именем Дрюша (цыганское Дрюша, Дрюш — вариант имени Андрей в цыганской среде). Учитывая, что цыганские фамилии часто оформлялись по русской модели, но могли остаться и без суффикса, этот вариант не стоит сбрасывать со счетов, особенно если фамилия встречается на юге России или в Бессарабии.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Дрюша не фигурирует как распространённая фамилия. Это говорит о её локальном бытовании: скорее всего, она закрепилась в одном-двух регионах, в одной или нескольких семьях. Географию можно уточнить по современным телефонным справочникам или базам данных — фамилия встречается единично в Центральной России и на Украине.

Итог: с вероятностью 90% Дрюша — это «усечённая» форма от Андрей, фамилия-прозвище, которая не прошла стандартную процедуру «обовывания». Носитель такой фамилии мог быть первым в роду, кого в деревне звали просто Дрюша, и это прозвище приросло к его потомкам.