Фамилия Дрюцький — редкий случай, когда географическое происхождение почти не вызывает споров, а вот с основой всё сложнее. Это типичная фамилия на -ский, указывающая на связь с местностью: так называли выходца из Дрюцка, Дрюкова или похожего топонима. Наиболее известен Дрюцк — древний город на Витебщине (ныне агрогородок в Беларуси), входивший в Полоцкое княжество. Оттуда пошёл княжеский род Друцких (Дрюцких), и фамилия Дрюцький могла закрепиться за потомками тех, кто покинул эти земли.

Но есть нюанс. В украинской и белорусской ономастике суффикс -цький часто заменял -ский в фамилиях, образованных от названий на -цк. То есть Дрюцький — это фонетический вариант Друцкого, где «ц» смягчилось под влиянием местного произношения. Однако встречается и версия, что корень «дрюк» — не топоним, а прозвище. В южнорусских и украинских говорах «дрюк» означает «жердь, кол, дубина». Прозвище Дрюк могли дать высокому, нескладному человеку или, наоборот, тому, кто работал с деревянными шестами — например, плотовщику или строителю. Если фамилия образована именно от такого прозвища, то модель «Дрюк + -ский» нетипична: обычно прозвищные фамилии на -ский редки и чаще указывают на владельца поместья (владельческий суффикс), а не на черту характера. Поэтому топонимическая версия выглядит убедительнее.

Сословный разброс у этой фамилии широк. В Российской империи Дрюцкими записывали как дворян (потомков князей Друцких, обрусевших и потерявших титул), так и крестьян, и мещан. В ревизских сказках XIX века фамилия встречается в Могилёвской, Витебской и Черниговской губерниях — то есть как раз в ареале бывшего Друцкого княжества и вокруг него. Носители фамилии могли быть и однодворцами, и казаками, и духовенством — универсальная модель образования не замыкала её в одном сословии.

Коротко: если вы Дрюцький, ваши предки с большой вероятностью родом из белорусского Подвинья, а фамилия произошла от названия города или села. Прозвищная версия маловероятна, но не исключена для единичных случаев.