Фамилия Дунешенко образована от имени Дунеша — а это, скорее всего, народная, просторечная форма канонического мужского имени Евдоким. В переводе с греческого Евдоким значит «славный», «окружённый доброй славой». В средние века это имя было вполне обычным: его давали мальчикам, крещёным 13 августа (по старому стилю), а нередко — и мужчинам при постриге в монахи. Так что предок современных Дунешенко мог быть как мирянином, так и человеком, принявшим постриг.

Фамилия построена по типичной для украинских и южнорусских земель модели: к основе Дунеш- прибавили уменьшительно-патронимический суффикс -енк(о). В буквальном смысле Дунешенко — «сын Дунеши», «потомок того, кого звали Дунеша». Такие фамилии на -енко особенно характерны для Левобережной Украины, Полтавщины, Черниговщины, Слобожанщины. Если ваши предки оттуда, фамилия могла закрепиться именно в этих краях.

Корень здесь — Дунеш-. Это типичный пример того, как церковное имя в быту сокращалось и переделывалось: от Евдоким — через формы Доким, Докима, Докимко, а потом и Дуня, Дунеша. Подобные «усечённые» имена встречаются сплошь и рядом: скажем, от Иван — Ванеша, от Павел — Панеша. Так что Дунеша — не самостоятельное имя, а ласковая или обиходная переделка.

Написание фамилии — Дунешенко — устойчивое, без вариантов вроде Дунешанко или Дунешенков. Последняя форма могла бы возникнуть при русификации фамилии в XIX веке, но здесь сохранился исходный украинский тип. Встречается фамилия нечасто, и это хорошо: она не «стёрлась» от массовости, и по ней можно проследить конкретную семейную ветвь.

Если коротко: Дунешенко — это «сын Дунеши», а Дунеша — домашнее прозвище Евдокима. Предок, скорее всего, жил на территории современной Украины или юга России и носил имя, которое сегодня кажется редким, а в XVI–XVII веках было вполне обыденным.