Фамилия Дышнык — почти наверняка не самостоятельное образование, а фонетический вариант, появившийся в результате звуковых изменений. Её ближайшие родственники — фамилии Дишнык и Дишник, а исходная форма для всех — прозвище Дижник.

Разбираемся с основой. Украинское слово «дiжа» (или русское «дежа») — это деревянная кадка для замешивания теста. Отсюда и прозвище Дижник: так могли назвать человека, который делал такие кадки, то есть бондаря. Это «профессиональное» именование — одна из самых частых моделей образования фамилий у восточных славян. Есть и более редкая версия, связанная с тем же корнем: в некоторых говорах «дежником» называли холщовое покрывало, которым накрывали кадку с тестом. В этом случае предок мог быть ткачом или торговцем холстами.

Как из Дижник получилось Дышнык? В живой речи сочетание звуков могло упроститься: звонкий ж под влиянием соседних глухих согласных перешёл в глухой ш, а безударный гласный изменился. Так Дижник превратился в Дишник, а затем, под влиянием «акающих» говоров, — в Дышнык.

Существует и альтернативная версия, но она менее убедительна. Согласно ей, фамилия образована от мирского имени Дыша или Дышник, связанного с глаголом «дышать». В разных диалектах у этого глагола были значения «здравствовать», «благополучно существовать», а иногда и «жалобно говорить, стонать». Если принять эту версию, то имя могло иметь охранительную функцию: родители называли так ребёнка, желая ему здоровья. Однако связь с конкретным ремеслом (изготовлением кадок) выглядит более прямой и типичной для прозвищ, которые ложились в основу фамилий.

Таким образом, фамилия Дышнык с высокой вероятностью указывает на род занятий предка — бондаря или мастера по деревянной утвари.