Фамилия Дюлаши — редкий случай, когда географическое происхождение почти очевидно, а вот значение исходного слова приходится реконструировать. Она явно имеет венгерские корни: суффикс -и в венгерском языке указывает на происхождение из какого-либо места или принадлежность к роду (сравните с русским -ский). Основа Дюлаш- восходит к венгерскому слову «gyula» (дьюла) — так в средневековой Венгрии называли военного предводителя, второго по значению человека после князя. В современном венгерском «gyula» также бытует как личное имя. Таким образом, Дюлаши — это «тот, кто из рода Дьюлы» или «выходец из поселения, названного в честь Дьюлы».

В русском языке фамилия закрепилась в написании через «ю» (Дюлаши), хотя по-венгерски она пишется как Gyulasi. Скорее всего, она попала в Россию или на Украину в XIX — начале XX века вместе с миграционными волнами из Австро-Венгрии. Носители могли быть как венграми по происхождению, так и представителями русинского или словацкого населения Закарпатья, где венгерские фамилии — обычное дело. Поэтому предки человека с такой фамилией с высокой вероятностью жили в исторической области Венгрии, возможно, в современной Словакии, Румынии или на Западной Украине.

Обратите внимание на суффикс: в венгерском он часто указывает на дворянское происхождение, но далеко не всегда. Многие крестьяне и ремесленники получали фамилию просто по названию деревни, где родились. В данном случае, если основа действительно связана с титулом «дьюла», фамилия могла принадлежать потомкам служилых людей или администраторов, но со временем стала просто наследственной.

Сравните с однокоренными венгерскими фамилиями: Дьюлаи, Дьюлафи — они образованы по той же модели, но с разными суффиксами. Дюлаши — более редкий вариант, который, скорее всего, привязан к конкретному небольшому селу или хутору. Точных данных о численности носителей в России нет, но это точно не массовая фамилия.