Фамилия Джимилинская — редкая, и её разбор требует внимания к деталям, а не к шаблонным схемам. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на происхождение от географического названия (места, откуда родом основатель рода). Окончание -ая — типично для полных прилагательных женского рода, но сама фамилия, скорее всего, образована от мужской формы Джимилинский. Однако основа «Джимилин-» не встречается ни в одном известном топонимическом словаре России, что наводит на мысль о неочевидном корне.

Слово «Джимилин» может быть искажённым вариантом тюркского или кавказского имени или прозвища. В тюркских языках есть корень «джим» (дух, демон) или «джими» (связанный с джинном), но более вероятно, что это фамилия, принесённая в Россию переселенцами или ссыльными. По структуре она напоминает польско-украинские фамилии на -инский (например, Глинский, Сосинский), где суффикс -ин- присоединяется к основе. Если предположить, что «Джимил» — это адаптация личного имени (скажем, Джемал или Джамиль), то фамилия могла означать «принадлежащий к роду Джимила» или «выходец из селения Джимилино». Но такого села в современных атласах нет.

Ещё одна версия, более прозаичная: фамилия могла возникнуть в результате канцелярской ошибки или переосмысления. В XIX веке при записи фамилий чиновники часто коверкали иноязычные звуки. Например, грузинская фамилия Джимиладзе или армянская Джимилян при русификации могла получить окончание -ский. В этом случае Джимилинская — это «обрусевшая» версия фамилии, где тюркский или кавказский корень прикрыт славянским суффиксом. Сословно такие фамилии чаще всего носили мещане или казаки, реже — дворяне, так как -ский в дворянских фамилиях обычно привязывался к реальному имению.

Географически фамилия встречается единично, в основном на юге России и в Западной Сибири — регионах, куда ссылали или переселяли народы Кавказа и Закавказья. Это косвенно подтверждает «переселенческую» версию. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова прямых упоминаний Джимилинской нет, что делает её интересным объектом для любительской генеалогии: скорее всего, это поздняя фамилия, сложившаяся не раньше середины XIX века.

Итог: перед нами фамилия с прозрачной словообразовательной моделью (-ск- + -ая), но тёмной основой. Самое правдоподобное объяснение — она ведёт начало от личного имени или прозвища Джимил, которое могло быть тюркским вариантом имени Джамиль («красивый» по-арабски) или производным от «джинн». Носители фамилии, вероятно, были выходцами с Кавказа или из тюркоязычной среды, чья фамилия была адаптирована под русские стандарты при записи в метриках.