Фамилия Джижевский — редкий случай, когда написание так и тянет поискать в ней польский или белорусский след, но разбор показывает скорее южнославянские корни. Суффикс -ский в русской традиции часто указывает на дворянское происхождение или на образование от географического названия, но в польском и украинском ареале этот суффикс мог получить и просто крестьянин, переселившийся из чужой деревни. Однако корень «джиж» в славянских языках встречается нечасто.

Самая правдоподобная версия отсылает к южнославянскому слову «џиџа» (джиджа) — так в сербском и македонском называют что-то мелкое, крошечное, а иногда и «карапуза» или «малыша». В болгарских диалектах «джидже» — это игрушка, безделушка. Прозвище Джижа или Джижо могли дать человеку маленького роста, щуплому телосложению или, наоборот, суетливому, подвижному, как ребенок. От этого прозвища образовали фамилию Джижевский по модели, типичной для западных областей: основа Джиж- плюс суффикс принадлежности -ев- и титульный -ский. То есть исходно — «сын Джижи».

Менее вероятна, но не исключена связь с польским «dzić» (дичь, вести себя дико) или с тюркским «джигит» (молодец, наездник), но для этого пришлось бы менять фонетику: «джигит» дал бы Джигитовский или Джигитский. Форма Джижевский с мягким «ж» и суффиксом -ев- тянет именно к уменьшительному прозвищу.

Географически фамилия встречается в основном в южных и центральных областях России, а также среди потомков переселенцев с Балкан и из Западной Украины. В современных базах данных носителей немного, что подтверждает редкость корня. Сословной принадлежности угадать без документов нельзя: -ский в этой фамилии мог быть как признаком шляхты (если предок имел герб), так и чисто формальным окончанием, которое давали при записи в ревизские сказки.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, получил прозвище за малый рост или за детскую внешность, а фамилию оформили по польско-украинскому образцу. Если хотите узнать точнее, стоит искать корни в записях Подольской, Волынской или Херсонской губерний — именно там чаще всего фиксировались подобные словоформы.