Фамилия Едгкецегш — один из тех редчайших случаев, когда написание полностью отрывается от звучания и смысла. Скорее всего, перед нами не исконно русская фамилия, а поздняя запись иноязычной фамилии кириллицей, причём запись, сделанная «на слух» или с искажениями при переписи. В русском языке нет корней, суффиксов или окончаний, которые складывались бы в такую последовательность букв. Сочетание «кгц» и «егш» для русской морфологии невозможно: в фамилиях на -ов/-ев, -ин, -ский основа всегда прозрачна (Кузнецов, Пушкин, Зарецкий). Здесь же основа нечленима.

Вероятнее всего, исходная фамилия принадлежит к одной из языковых групп, где согласные стечения часты: немецкой, прибалтийской, финно-угорской или кавказской. Например, в немецком написании это могло быть что-то вроде Edkecetzsch или Edgketsegsh — фамилия, которая при переезде носителя в Российскую империю была записана чиновником буквально по буквам. В таком случае первоначальное значение утрачено, но можно предположить, что основа восходит к личному имени (например, сокращение от Эдгард или Эдмунд) или к топониму (название места вроде Эдкеце).

Вторая версия — что это не фамилия, а опечатка или результат неверного распознавания рукописного текста. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках почерк часто был неразборчив, и при переписывании или оцифровке буквы могли слиться или раздвоиться. Например, фамилия Едкецев (от имени Едко, уменьшительного от Егор) при небрежном написании могла превратиться в Едгкецегш — если добавить лишнюю букву «г» и заменить «в» на «ш». Но это лишь гипотеза, так как ни один известный ономастический словарь (ни Унбегаун, ни Никонов, ни Веселовский) такой фамилии не фиксирует.

Географически фамилия не привязана ни к одному региону России. В современных базах данных (например, в списках избирателей или телефонных справочниках) она либо отсутствует, либо встречается единично — что подтверждает её искусственное или заимствованное происхождение. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши предки были переселенцами из немецких колоний, Прибалтики или Западной Европы, а фамилия подверглась сильной трансформации при записи на русском языке.

Коротко: фамилия Едгкецегш не разлагается на русские морфемы и, вероятно, является искажённой записью иноязычной фамилии. Единственный способ узнать точное происхождение — найти исходное написание (латиницей или на языке предков) в архивных документах конца XIX — начала XX века.