Фамилия Эгрешы настолько необычна для русского уха, что сразу выдаёт своё нерусское происхождение. В русской ономастике она практически не встречается, и её корни, скорее всего, ведут в Венгрию или соседние с ней регионы Восточной Европы. На это указывает характерное окончание «-и» и нехарактерное для славянских языков сочетание «гр» в корне.

Вероятнее всего, фамилия образована от венгерского слова «egres» — «крыжовник». В таком случае Эгрешы — это вариант фамилии Эгреши, где суффикс «-и» в венгерском языке указывает на происхождение из определённого места или на принадлежность. Буквально фамилию можно перевести как «крыжовниковый» или «из местности, где растёт крыжовник». Венгерские фамилии часто были «говорящими»: они могли указывать на место жительства, занятие или характерный признак местности. Предок носителя фамилии мог жить у зарослей крыжовника, заниматься его разведением или просто получить прозвище по этой ягоде.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с венгерским словом «egres» в значении «выход» или «исток». В этом случае фамилия могла быть топонимической — её давали человеку, жившему у истока реки или на выезде из поселения. Венгерских топонимов с корнем «Egres» действительно много: есть несколько сёл с таким названием в Венгрии, Румынии и Словакии, и выходцы оттуда легко могли получить фамилию по месту выхода.

Написание через «ы» — «Эгрешы» — это уже русская адаптация. В оригинале фамилия пишется как Egresi или Egressy. Твёрдое «ы» на конце могло появиться либо из-за особенностей произношения в русскоязычной среде, либо как калька с украинского или белорусского варианта записи. В любом случае, для России это фамилия редкая и, скорее всего, принадлежит потомкам венгерских переселенцев, которых в разные века заносило в империю — от военнопленных до специалистов, приглашённых на службу.