Фамилия Эксарский — редкая, и её происхождение неочевидно. Скорее всего, она искусственного, семинарского происхождения, как и многие фамилии на -ский, не связанные с географическими названиями. Основа «эксарх» (греч. «exarchos» — начальник, предводитель) в православной традиции имеет два значения: в Византийской империи экзархом называли правителя крупной области, а в церковной иерархии — главу отдельной церковной территории (экзархата). В Российской империи экзархом именовали, например, главу Грузинского экзархата.

Таким образом, фамилию Эксарский могли дать в духовной семинарии или академии. Семинаристам часто присваивали фамилии по церковным терминам, праздникам или именам святых. Носитель такой фамилии мог быть сыном священника или выпускником, получившим «говорящую» фамилию, которая подчёркивала бы его будущий высокий сан или учёность. Модель образования типична для семинарских фамилий: греческая основа + суффикс -ский, указывающий на принадлежность или свойство.

Менее вероятна, но возможна версия, что фамилия связана с топонимом. В России нет известных населённых пунктов «Эксар» или «Эксары», но теоретически фамилия могла возникнуть у выходца из места с похожим названием, например, в греческих колониях Причерноморья или в Прибалтике, где встречаются топонимы с корнем «экс-». Однако географическая версия слабее: суффикс -ский в таких случаях обычно указывает на конкретное село или город, а для экзотического корня это маловероятно.

Встречается фамилия в основном в центральной России и в среде потомков духовенства. Известных носителей с всероссийской славой нет, что подтверждает её редкость. Словообразовательно фамилия стоит в одном ряду с такими семинарскими «грецизмами», как Афинский, Иерусалимский, Патриарший. Если ваш предок носил фамилию Эксарский, с высокой долей вероятности он происходил из церковной среды — либо сам был священником, либо учился в духовном училище.