Фамилия Эксаурова — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а греческая, пришедшая через церковную среду. В основе лежит греческое слово «эксаури» (εξαύρι) — «назавтра», «завтрашний день». В русской традиции такое слово могло стать прозвищем или мирским именем, которое давали ребёнку, родившемуся накануне какого-то события или в канун большого праздника. Вариант «Эксауров» фиксируется в южнорусских и донских областях, где было сильно влияние греческого духовенства и купечества.

Суффикс «-ов» указывает на стандартную модель образования русских фамилий от отчества или прозвища: Эксаур — сын Эксаура. Женская форма Эксаурова — это вариант для замужней женщины или дочери, но исторически фамилия могла принадлежать и вдове, если она сама вела хозяйство.

Интересно, что фамилия могла возникнуть не напрямую от греческого слова, а через прозвище священника или дьячка, который служил в церкви с особым уставом, где служба «назавтра» имела значение. В отличие от более частых фамилий на «-ский» (вроде Эксаурский), форма на «-ов» говорит о более простом, крестьянском или мещанском происхождении носителя, а не о дворянском или духовном сословии.

Встречаются также варианты написания через «а» — Аксаурова, что может быть связано с акающим произношением в южных говорах. Редкость фамилии (она почти не встречается за пределами бывшей Российской империи) говорит о том, что её носители происходят из узкого круга людей, возможно, из одной местности или одной семьи, где прозвище закрепилось и передалось по наследству.