Фамилия Элчакян — армянская, и её разумнее всего разбирать в рамках армянской ономастической традиции, а не славянской. Ключ к пониманию — суффикс -ян, один из самых распространённых в армянских фамилиях. Он восходит к древнему патронимическому суффиксу -янц (родовой, принадлежащий к роду), который со временем редуцировался до -ян. Таким образом, Элчакян буквально значит «из рода Элчака» или «потомок Элчака».

Основа фамилии — Элчак. Скорее всего, это личное имя или прозвище, образованное от тюркского слова «элчи» (посол, вестник, гонец). В армянском языке, испытавшем сильное тюркское влияние в средние века, слово «элчи» закрепилось в том же значении. Суффикс -ак в армянском — уменьшительно-ласкательный или образующий имена (сравните: Вардак, Григорак). Следовательно, Элчак — это «маленький посол», «сын посла» или человек, выполнявший функции гонца. В Армении и в среде армян Закавказья фамилии на -ян начали массово закрепляться в XIX веке, хотя сама модель образования намного старше.

Географически фамилия Элчакян тяготеет к историческим областям Восточной Армении, особенно к региону Сюник (Зангезур) и к Нагорному Карабаху (Арцах). В этих районах тюркские заимствования в речи и именах были особенно часты из-за многовекового соседства с тюркоязычными ханствами. Встречается фамилия и среди армянской диаспоры, особенно в России, США и Франции.

В отличие от многих армянских фамилий, которые образованы от христианских имён (Ованесян, Григорян) или названий ремёсел (Дарбинян — кузнец), Элчакян указывает на социальную функцию или прозвище, данное предку. Это «должностная» фамилия, что делает её близкой по смыслу к русским Посольников, Посланников или украинским Пословым. Носитель такой фамилии мог быть человеком, который вёл переговоры, доставлял известия или служил при дворе мелкого феодала в качестве доверенного лица.

Вариантов написания немного: возможна форма Элчакянц, которая сохраняет более архаичный суффикс и встречается в документах XIX — начала XX века. В русской транскрипции фамилия пишется через «Э», хотя в армянском оригинале первый звук произносится ближе к «Е». Ударение в русском языке обычно падает на последний слог: Элчакя́н.