Фамилия Элебесова — редкая и географически привязанная. Её основа, скорее всего, тюркская, а суффикс -ов указывает на русскую модель образования: так оформляли фамилии в среде крещёных народов Поволжья и Урала. Если отбросить окончание, получаем мужской вариант Элебесов, который и нужно разбирать.

Корень «Элебес» не имеет прямого аналога в современном русском языке. Скорее всего, он восходит к тюркскому личному имени или прозвищу. Можно выделить две версии. Первая: имя Элебес — сложное, из двух основ: «эл» (народ, страна, община) и «бес» (пять) либо «бес» (бес, злой дух, но в тюркских языках это слово имеет и значение «крепкий, сильный»). Тогда «Элебес» может означать «крепкий родом» или «опора народа». Вторая, более правдоподобная версия: имя связано с казахским или башкирским словом «елебес» — «непоседа», «егоза», «суетливый человек». Прозвище, данное живому, подвижному ребёнку, со временем закрепилось как фамильное имя.

Суффикс -ов типичен для фамилий, возникших у крещёных татар, башкир и казахов в XIX — начале XX века, когда при переходе в православие или при переписях населения тюркские имена русифицировали. Это не фамилия дворянского или купеческого рода — скорее всего, её носители были государственными крестьянами или казаками, жившими на южном Урале, в Оренбуржье или в Западном Казахстане.

Встречается написание Элебесова и реже Элебесов. Ударение, судя по типовой модели фамилий на -ов, падает на второй слог: Элебе́сова. Однокоренных фамилий в открытых источниках почти нет, что подтверждает редкость исходного имени. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Оренбургской или Уфимской губерний — именно там фиксировались подобные тюркские основы.