Фамилия Элешес — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а прибалтийское или финно-угорское, и, скорее всего, литовское. В литовском языке есть основа ele-, которая может восходить к слову ėlė — «ель», или к диалектному ėlėti — «еле ходить, тащиться». Суффикс -š- в литовской антропонимии типичен для образования прозвищ: он придаёт основе уменьшительный или пренебрежительный оттенок. Таким образом, прозвище Элешас (лит. Elešas) могло означать «маленькая ёлочка» или, в переносном смысле, «медлительный, вялый человек».

Второй вариант — фамилия могла возникнуть из немецкого или идиша. В немецком языке есть фамилия Eles, которая иногда встречается у евреев-ашкеназов и является сокращением от имени Elieser (Элиэзер). В этом случае фамилия Элешес — это русифицированная форма, где окончание -ес передаёт немецкое -es как указание на принадлежность («сын Элиэзера»). Однако для этого варианта характерна концентрация в западных губерниях Российской империи, а не в Прибалтике.

География бытования фамилии Элешес — это, прежде всего, Литва и соседние регионы Беларуси (особенно Витебская и Гродненская области). В России она встречается единично, чаще всего у потомков литовских переселенцев или выселенных в советское время семей. Сословная принадлежность носителей фамилии, судя по историческим записям, была крестьянской или мещанской — дворянских родов с этой фамилией не зафиксировано.

Особенность написания — фамилия не склоняется по правилам русского языка, если её рассматривать как заимствованную иноязычную форму. В бытовой речи иногда встречается вариант «Элешас» (с твёрдым «с» на конце), но закрепилось именно «Элешес», вероятно, из-за церковных или паспортных записей XIX века, где литовское окончание -as переделали в русское -ес. Однокоренных русских фамилий у неё нет — это изолированный ономастический случай.