Фамилия Эликишвили — грузинская, и это видно сразу по суффиксу. Окончание -швили в переводе с грузинского означает «дитя» или «сын». Это один из самых распространённых патронимических суффиксов в восточной Грузии, особенно в Кахетии и Картли. Он указывает на происхождение от отца: буквально Эликишвили — это «сын Элики».

Имя или прозвище Элики — вот что требует разбора. Скорее всего, это уменьшительная или обиходная форма от полного имени. Самая правдоподобная версия — от имени Элиа, грузинского варианта библейского Илия. В грузинском языке имя Илия (Илиа) через народную речь могло дать форму Элико, а от неё — более короткое Элика. Суффикс -ко в грузинских именах — типичный уменьшительно-ласкательный (как, например, Вано от Иван, Гио от Георгий). Таким образом, Эликишвили — это «сын маленького Ильи» или «потомок Элики».

Есть и менее вероятная версия, связывающая основу с тюркским словом «элик» (косуля, дикая коза). Но для грузинской фамилии, особенно с таким типичным патронимическим суффиксом, связь с личным именем гораздо естественнее. Фамилии на -швили массово закреплялись в Грузии в XV–XVII веках, когда крестьяне и ремесленники получали фамилии по имени отца или деда. Никакого отношения к дворянству или княжескому титулу суффикс -швили не имеет — это фамилия простого человека, чей предок носил имя Элика.

Географически фамилия Эликишвили чаще всего встречается в восточных регионах Грузии, но без привязки к какому-то одному селу — это довольно распространённая модель, и носители могли разойтись по разным районам. В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Эликишвили), но женский вариант (Мариам Эликишвили) остаётся неизменным.