Фамилия Еллиев — редкий случай, когда написание прямо указывает на происхождение. В ней нет привычного для русских фамилий суффикса -ов/-ев, а есть книжный, почти латинский суффикс -иев. Такая модель образования типична для фамилий из духовной среды: её давали в семинариях и академиях, когда из простой фамилии или прозвища делали «учёную», часто на основе греческого или латинского корня.

Основа здесь — греческое имя Илия (Ηλίας), то есть Илья. В русской традиции имя Илья давало фамилии Ильин, Ильичев, Ильинский. Но Еллиев — это не народная, а искусственная, книжная форма. Семинаристы нередко переделывали свои фамилии на «учёный манер», используя суффикс -иев, который напоминал греческие притяжательные формы (как Василиев, Георгиев). Так Илья превращался в Еллий (в церковнославянском произношении — с «е» в начале), а от него — Еллиев.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: фамилия могла возникнуть от греческого слова Ἕλλην (эллин) — «грек». В таком случае Еллиев означало бы «сын грека» или «относящийся к грекам». Однако для семинарской практики это нетипично: прозвище «Грек» скорее дало бы фамилию Греков или Греческий. А вот превращение имени Илья в «эллинизированную» форму Еллий — ход, хорошо известный по истории русских духовных фамилий.

Географически Еллиевы встречаются редко, в основном в центральной России и Поволжье, где были духовные училища. Если ваш предок носил эту фамилию, велика вероятность, что он происходил из семьи священника или дьячка: такие фамилии давали выпускникам семинарий, чтобы отличать их от крестьянских и купеческих родов. Проверить это можно по клировым ведомостям конца XIX века — там Еллиевы почти наверняка значатся как церковнослужители.