Фамилия Ельсаева не принадлежит к числу распространённых, и её происхождение напрямую связано с личным именем или прозвищем, от которого она образована. В основе, скорее всего, лежит имя Ельсай (или Елсай), которое является просторечной, народной формой канонического крестильного имени Елисей. В русской традиции имя Елисей (древнееврейского происхождения, означает «Бог — спасение») часто упрощали: Елисей — Елисейка — Елсей — Ельсай. Такой путь типичен для многих фамилий: сначала имя сокращалось в быту, а затем закреплялось в фамилии.

Суффикс «-ев» указывает на типичную модель образования русских фамилий: Ельсай + -ев = «сын Ельсая», то есть потомок человека по имени Ельсай. Фамилия Ельсаев (а женская форма Ельсаева) фиксируется преимущественно в Поволжье, в частности в республиках Марий Эл и Татарстан, а также в Нижегородской области. Это объясняется тем, что в этих регионах имя Елисей в народных формах (Елсей, Ельсай) было особенно употребительно среди русских и крещёных марийцев.

Менее вероятная, но допустимая версия связывает фамилию с прозвищем от диалектного слова «ельса» или «елса». В некоторых северных говорах так могли называть неуклюжего, неловкого человека или, наоборот, того, кто «елозит», вертится. Однако эта гипотеза слабее, так как не подкреплена широкой географией прозвища, в то время как имя Елисей в форме Ельсай — факт хорошо задокументированный.

Таким образом, предок носительницы фамилии Ельсаева, скорее всего, был крещёным человеком, носившим в миру имя Ельсай (производное от Елисей), и жил в регионах Среднего Поволжья. Фамилия сохранила эту народную, «домашнюю» форму имени, которая со временем стала родовой.