Фамилия Элыив — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, но при этом ставит в тупик любого, кто попытается разобрать её по привычным русским словообразовательным моделям. В ней нет ни типичного суффикса -ов, ни -ин, ни -ский. Окончание -ив — не русское, а характерное для украинских и белорусских фамилий, особенно западных регионов. В украинском языке суффикс -ів (в русской передаче -ив) означает «чей?» — то есть «Элыив» буквально переводится как «Элыев» или «сын Элыя». Основа Элый (или Элий) — это, скорее всего, адаптированная на славянской почве форма какого-то нецерковного имени или прозвища.

Самая правдоподобная версия ведёт к греческому имени Илия (Илья). В некоторых говорах, особенно под влиянием польского или румынского языков, начальное «И» могло перейти в «Э», а мягкое «ль» дало форму Элий. От неё и образовали отчество-фамилию Элыив — «потомок Элыя». Второй вариант, более экзотический, связывает основу с тюркскими корнями: в ряде тюркских языков «эл» означает «народ», «племя», а «ый» — суффикс принадлежности. Тогда прозвище Элый могло означать «народный», «относящийся к племени». Но для фамилии, бытующей в славянской среде, эта версия слабее: суффикс -ів однозначно указывает на восточнославянскую модель, а не на тюркскую.

Географически фамилия Элыив почти наверняка происходит из западных областей Украины — Волыни, Подолья или Галичины. Там фамилии на -ив встречаются особенно часто (например, Шевців, Ковалів), и там же исторически сильнее было польское и греко-католическое влияние, которое могло исказить церковное имя Илья в местном произношении. Носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами, поскольку дворянские фамилии в этом регионе обычно оформлялись через -ский или -цький. Встретить Элыива за пределами Украины — редкость, и, скорее всего, это следствие миграции конца XIX — начала XX века.