Фамилия Элюким — редкий случай, когда основа не поддаётся привычной славянской этимологии. В ней нет ни отчества на -ов, ни прозвища на -ин, ни географического суффикса -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая в среде тюркских или кавказских народов, где -им, -ым — распространённый притяжательный или аффиксальный элемент. Корень «Элюк» может восходить к тюркскому «элик» (рука, пядь) или к имени Элюк, которое встречается у некоторых тюркских племён как личное имя. В азербайджанском и кумыкском языках «элюк» означает «крупный», «большой» — такое прозвище могли дать рослому или сильному человеку.

Есть и другая версия: фамилия могла возникнуть в среде горских евреев (татов), где встречаются фамилии на -им, образованные от древнееврейских имён. В таком случае «Элюким» — это вариант произношения имени Элиаким (Бог восставляет), которое через диалектную огласовку дало форму Элюким. Подобные переходы (и → ю, а → о) характерны для устной речи: имя Элиаким в быту могло звучать как Элюким, а затем закрепиться в качестве фамилии. Эта гипотеза подкрепляется тем, что фамилия встречается в общинах горских евреев Дагестана и Азербайджана.

Географически фамилия Элюким привязана к южным регионам бывшего СССР: Дагестан, Чечня, Азербайджан. В русских метрических книгах и переписях XIX века она почти не фиксируется, что указывает на её позднее появление в официальных документах — скорее всего, при советской паспортизации 1920–1930-х годов. Тогда многие носители тюркских и кавказских фамилий получили их в письменном виде именно в такой огласовке, как произносили местные писари.

Таким образом, фамилия Элюким несёт в себе след двух культурных пластов: тюркского (прозвище от прилагательного) или семитского (личное имя с религиозным значением). Выбор между версиями зависит от конкретной семейной истории — если предки были горскими евреями, более вероятна вторая; если тюрками-мусульманами — первая. В любом случае, это не русская фамилия по происхождению, а привнесённая в русский язык через межэтнические контакты.