Фамилия Элюков — редкий случай, когда сразу понятен корень, но сомнителен суффикс. Основа здесь, скорее всего, тюркское имя Элюк (или Элюк-бий). В башкирском, татарском и казахском ономастиконе есть имя Элюк, которое восходит к слову «ил» — «родина, страна, народ» с уменьшительным аффиксом -ек. То есть Элюк — «маленькая родина» или «родной». Встречается и вариант Элюк в значении «господин, владетель народа» (от «эль» — племя, народ). От этого имени по модели «имя + -ов» и возникла фамилия.

Но есть тут одна тонкость. Если бы фамилия образовалась стандартно от имени Элюк, мы бы ждали форму Элюков. Однако в русских документах XVIII–XIX веков у татар и башкир нередко фиксировали фамилии с ударным окончанием -ов, даже если исходное имя оканчивалось на согласный. Поэтому Элюков — это именно «сын Элюка», то есть патроним.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: связь с диалектным словом «элюк» — так в некоторых говорах называли ольху или заросли кустарника (сравните с тюркским «елюк» — «ольха»). Тогда прозвище Элюк мог получить человек, живший у ольховой рощи. Но эта гипотеза слабее: фамилия слишком явно тяготеет к личному имени.

Географически фамилия Элюков привязана к южному Уралу и Зауралью — это Башкортостан, Оренбуржье, Челябинская область. Встречается она и у казахов, но в форме Елюков. В метрических книгах XIX века носители фамилии записаны как «тептяри» или «башкиры-вотчинники» — то есть предки были не крепостными, а государственными крестьянами или военными сословиями.

Интересная деталь: фамилия практически не встречается за пределами этого региона и не имеет «двойников» в других частях России. Если вы встретили Элюкова в Москве или Петербурге — почти наверняка его корни ведут в башкирские или татарские деревни.