Фамилия Енгайкина — женская форма фамилии Енгайкин, а та, скорее всего, образована от прозвища или имени Енгайка. Основа здесь — «енгай», и это редкий случай, когда корень уходит не в славянские, а в тюркские языки.

Самый вероятный источник — тюркское слово «енгей» или «янгай», которое в разных диалектах означало «широкий», «просторный» или «размашистый». В переносном смысле так могли прозвать человека с широкими плечами, крупной фигурой или, наоборот, с размашистой походкой. Встречается и вариант «янгай» как вариант имени Янгур, но для фамилии Енгайкина прямая связь с именем менее убедительна: суффикс -к- в основе скорее указывает на прозвище, а не на крестильное имя.

Модель образования — суффикс -ин, характерный для русских фамилий, произошедших от основ на -а/-я. Фамилии вроде Енгайкин, как и Пушкин или Ильин, изначально означали «чей?» — «сын Енгайки». Притяжательный суффикс -ин в XVI–XVII веках активно присоединяли к прозвищам и нецерковным именам, что указывает на незнатное, скорее всего крестьянское или посадское происхождение первых носителей.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу — регионам, где веками соседствовали русские и тюркские народы. Встречается в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Самарской областях. Это не случайно: прозвища с тюркскими корнями часто закреплялись у русских крестьян, живших в смешанных этнических зонах.

Более редкая версия связывает «енгай» с диалектным русским словом «енга» — так в некоторых говорах называли ягодный кустарник или болотистое место. Если так, то Енгайка — человек, живший у зарослей енги, но эта гипотеза слабее: слово «енга» почти не фиксируется в письменных источниках, а тюркский след для фамилии с таким звучанием выглядит убедительнее.

В итоге: предки носительницы фамилии Енгайкина — скорее всего, русские крестьяне или служилые люди из Поволжья, получившие прозвище по внешности (широкий, крупный) от соседей-тюрков. Фамилия редкая, но в ней хорошо видна культурная граница, где русский язык переплетался с тюркским.