Фамилия Энника — редкий случай, когда морфология почти ничего не говорит о происхождении. В русском языке нет продуктивного суффикса -ика, который образовывал бы фамилии от нарицательных слов или имён. Поэтому сразу отбрасываем версию о происхождении от какого-то «энника» — такого слова в русском языке не было. Скорее всего, перед нами фамилия, которая возникла из иноязычной основы и лишь потом получила русское окончание -а, типичное для женских фамилий или для фамилий в форме прилагательного.

Самая вероятная версия — эстонское или финское происхождение. В эстонском языке есть слово «ennik» — «предсказатель», «прорицатель». В старину так могли прозвать человека, который умел угадывать погоду, предвидеть события или просто обладал необычной интуицией. Фамилия могла закрепиться за потомками такого «вещуна». Альтернативная, но менее убедительная гипотеза — связь с финским именем Enni (уменьшительное от имён вроде Henrikki). В этом случае Энника — это русифицированная форма отчества: «чей?» — Энникин, но при переписи или в документах окончание могло редуцироваться до -а, особенно если носитель был из прибалтийских губерний.

Географически фамилия привязана к северо-западу бывшей Российской империи: Эстония, Ингерманландия (Ленинградская область), Финляндия. Встречается она и сегодня, но крайне редко, в основном среди потомков прибалтийских финнов или эстонцев, переселившихся в Россию в XIX—XX веках. Сословная принадлежность предков, скорее всего, была крестьянской или мещанской — дворянских родов с такой фамилией в гербовниках нет.

В русском написании фамилия Энника выглядит как застывшая форма женского рода, но по сути это фамилия общего рода: она не меняется по мужскому и женскому варианту (как, например, Долгих или Черных). Это ещё один аргумент в пользу её иноязычного корня — в русской традиции такие фамилии не склонялись по падежам, а просто адаптировались к местному произношению.