Фамилия Еприцкая — редкая и территориально привязанная, скорее всего, к югу России или Украине. Её основа — не русское имя или прозвище, а географическое название.

Вероятнее всего, фамилия образована от названия населённого пункта — например, села Еприца или Еприцы. Такие топонимы могли возникнуть от слова «еприть» (в некоторых говорах — «егозить», «вертеться») или от диалектного «епра» — непоседливый, суетливый человек. Если село называлось Еприца, то его житель получал прозвище Еприцкий, а его жена или дочь — Еприцкая. Суффикс -ский/-цкая типичен для дворянских и польско-шляхетских фамилий, но в народной среде он часто указывал на выходца из конкретного места.

Менее вероятная, но возможная версия: фамилия могла произойти от прозвища Еприк — так могли называть человека с неспокойным характером или того, кто «епрится» (суетится, капризничает). В таком случае суффикс -цкая — это вариант адаптации прозвища на русский лад.

Встречается фамилия в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на востоке Украины — там, где исторически смешивались украинские, русские и польские говоры. В списках казачьих родов или в метрических книгах XIX века Еприцкие не фигурируют как массовая фамилия, что подтверждает её локальный характер.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в конкретном хуторе или селе — именно там, скорее всего, и жил тот самый Еприцкий, от которого пошёл род.