Фамилия Евдомашко звучит на украинский или белорусский лад — об этом говорит суффикс -ко, который в этих языках присоединяли к основам личных имён, прозвищ или профессий, образуя фамилии с оттенком принадлежности или уменьшительности (сравните: Шевченко, Коваленко, Тимошко). В основе фамилии лежит имя Евдоким (греческое Εὐδόκιμος — «славный», «пользующийся доброй славой»), но в разговорной речи оно сокращалось до форм вроде Евдома, Евдоха. От такой краткой формы и пошла фамилия Евдомашко: к основе Евдома- добавили суффикс -ш- (как в Тимошко от Тимофей, Ивашко от Иван), а затем родовое окончание -ко.

Таким образом, Евдомашко — это патронимическая фамилия, буквально «потомок или сын Евдома» (то есть Евдокима). Носитель фамилии, скорее всего, происходил из крестьянской или казачьей среды на территории современной Украины или юго-западной Беларуси, где такие модели фамилий были массовыми в XVII–XVIII веках. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, украинские фамилии на -ко часто фиксировали прозвищное имя отца без дополнительных суффиксов принадлежности.

Интересная деталь: фамилия Евдомашко встречается реже, чем её аналоги вроде Евдокимов или Евдошенко. Это говорит о том, что исходная краткая форма Евдома была локальной или даже диалектной. В польских метриках XIX века можно найти варианты вроде Jodomaszko — это результат адаптации украинского звучания к польской орфографии. Спорных версий происхождения здесь почти нет: корень прозрачен, а суффиксальная модель типична для восточнославянского ономастикона.