Фамилия Евегенидзе — редкий случай, когда ошибка в написании стала нормой. Правильнее было бы «Евгенидзе», от имени Евгений (греч. «благородный»), но в метриках или паспортном столе закрепился вариант с лишней «е» после «в». Такая замена встречается в грузинских фамилиях, образованных от русских имён: носители языка часто смягчали или удлиняли непривычные сочетания. Основа здесь — «Евгений», а суффикс «-идзе» (груз. «сын») указывает на патроним, то есть фамилия буквально означает «сын Евгения».

В Грузии фамилии на «-идзе» традиционно носили жители восточных регионов — Кахетии, Картли, Имеретии. Поскольку имя Евгений в православной среде было распространено среди духовенства и городских слоёв, предок носителя мог быть священником, дьяконом или просто крестьянином, получившим имя по святцам. В отличие от фамилий на «-швили» (тоже «сын», но более демократичных), «-идзе» в XIX веке считались признаком знатного или княжеского происхождения, хотя это правило не абсолютно: многие простые семьи тоже носили такой суффикс.

Сейчас фамилия Евегенидзе встречается крайне редко, в основном в Грузии и среди потомков эмигрантов. В России её можно найти в единичных случаях — скорее всего, у людей, чьи предки переехали из Закавказья в советское время. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был грузином по отцу, а имя Евгений в его роду передавалось через поколение.

Интересная деталь: в грузинских документах XIX века встречается написание «Евгенидзе» (без второго «е»), но к началу XX века форма с «е» стала преобладать. Это не ошибка переписчика, а живой процесс адаптации — так же, как из «Иоаннидзе» получилось «Иванидзе». Ваша фамилия — не искажение, а диалектный вариант, который закрепился в официальных записях.