Фамилия Евескина — женская форма, а её мужской вариант — Евескин. Это типичная «патронимическая» фамилия, образованная от имени или прозвища с помощью суффикса -ин, указывающего на принадлежность: «чей сын?» — Евескин. В основе лежит имя Евеска — разговорная, уменьшительная форма от канонического крестильного имени Евсевий (в русской бытовой традиции часто звучавшего как Евсей).

Корень здесь — греческое «эусебес», что значит «благочестивый». Имя Евсей было распространено в простонародной среде, и от него пошли десятки фамилий: Евсеев, Евсюков, Евсин, Евсенев. Евескин стоит в этом ряду особняком из-за суффикса -ск-. Обычно -ск- в фамилиях указывает на географическое происхождение (княжеские или дворянские, типа Вяземский), но в случае с Евескиным это, скорее всего, результат народной переделки: имя Евсей в некоторых говорах могло звучать как «Евеска» (через вставной «в» и уменьшительный суффикс -к-). То есть Евеска — это ласкательное обращение к Евсею, вроде «Евсюшка» или «Евсеюшка».

Встречаемость фамилии крайне невысокая. По данным открытых источников, Евескины исторически фиксируются в центральных и северных регионах России — в Ярославской, Костромской, Вологодской областях. Там имя Евсей было особенно популярно в XVII–XIX веках. Сословная принадлежность носителей — скорее всего, крестьяне или мещане: фамилии на -ин у непривилегированных слоёв образовывались именно от сокращённых имён.

Спорных версий здесь немного. Можно было бы предположить связь с диалектным словом «евеска» (якобы «болтунья» или «хлопотунья»), но такие лексемы не зафиксированы в авторитетных словарях русских говоров. Поэтому самая правдоподобная гипотеза — от имени Евсей через форму Евеска. Фамилия редкая, и её обладатели, скорее всего, потомки одного человека по прозвищу Евеска, который жил несколько веков назад в глухой деревне на севере или северо-востоке России.