Фамилия Евкуровы образована от ингушского имени Евкур. Точное значение этого имени не установлено, но есть основания связывать его с ингушским словом, означающим «гордый». Скорее всего, имя Евкур было пожелательным: родители, называя так сына, желали ему стать уважаемым и влиятельным человеком. По этой логике Евкуров — это потомок того, кого звали Евкур.

Словообразовательная модель здесь типична для русских фамилий, возникших на Северном Кавказе: к ингушской основе добавили русский суффикс -ов. Так оформляли фамилии при документальном учёте, когда местные имена и прозвища нужно было вписать в русскую административную систему. Суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), поэтому фамилия буквально означает «сын Евкура» или «из рода Евкура».

Самый известный носитель фамилии — Юнус-бек Баматгиреевич Евкуров (род. 1963), бывший глава Ингушетии и Герой Российской Федерации. Его биография подтверждает, что фамилия прочно связана с ингушской историей и культурой, а её основа — древнее родовое имя, которое несло в себе пожелание достоинства и силы.