Фамилия Евкуров — один из немногих примеров русских фамилий, образованных от ингушского личного имени. В её основе лежит имя Евкур, и это сразу выделяет её из ряда фамилий, образованных от славянских имён или прозвищ. Точное значение имени Евкур не установлено, но есть версия, что оно восходит к ингушскому прилагательному со значением «гордый». Если это так, то имя могло быть пожелательным: родители надеялись, что сын вырастет уважаемым и займёт высокое положение.

Модель образования проста и характерна для русской ономастики: к основе имени Евкур добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов. Получилось «сын Евкура» — Евкуров. Такая схема (имя + -ов) массово использовалась при формировании фамилий у дворян, духовенства и крестьян, но в данном случае она наложилась на нерусское имя, что делает фамилию регионально маркированной. Она бытует в основном на Северном Кавказе, особенно в Ингушетии, и среди выходцев оттуда.

Самый известный носитель — Юнус-бек Баматгиреевич Евкуров (родился в 1963 году). Он был президентом Ингушетии, имеет звание Героя Российской Федерации (2000 год) и военный опыт. Именно его публичная биография сделала фамилию известной за пределами республики. В остальном фамилия редкая: в списках массовых русских фамилий она не встречается, и её носители — почти исключительно ингуши по происхождению.