Фамилия Евмещенко — яркий пример украинской модели фамилий на -енко. В отличие от русских фамилий на -ов и -ин, которые чаще означали «чей сын» или «чей работник», формант -енко в украинской традиции напрямую указывал на потомка: Евмещенко — буквально «сын Евмеха» или «маленький Евмех».

Основа фамилии — личное имя или прозвище Евмех. Это, в свою очередь, сокращённая форма от канонического крестильного имени Евмений. Имя Евмений греческого происхождения, от слова «эвменос» — благосклонный, милостивый. В православных святцах это имя встречается, но было редким, особенно в крестьянской среде. Поэтому фамилия Евмещенко — не массовая, а штучная, что делает её особенно ценной для генеалогии.

В русском языке имя Евмений часто «обкатывалось» до более привычных форм — Евмен, Евмех, Явмен. Суффикс -ех- характерен для украинской и белорусской народной традиции: от полных имён отсекали конец, добавляли -ех (как Михей — Михех, Тимофей — Тимоха). Так и Евмений превратился в Евмеха, а его дети стали Евмещенками.

Географически фамилия тяготеет к восточным и центральным областям Украины — Сумщине, Полтавщине, Черкасчине. В России она встречается очень редко, в основном как след переселенцев с Украины в XIX–XX веках. По сословной принадлежности предки почти наверняка были казаками или государственными крестьянами — у дворянских родов фамилии на -енко встречаются лишь как исключение.

С точки зрения словообразования интересен вариант написания через «и» — «Евмищенко». Встречается он реже и может указывать на то, что в основе лежала форма Евмих (от того же Евмений, но с другим суффиксом). Однако доминирующий вариант — Евмещенко, и именно он считается нормативным. Если вы встретили оба написания в документах одной семьи — это не ошибка, а отражение живой народной речи, где гласные в безударной позиции могли смешиваться.