Фамилия Эйгим — редкая для русской ономастики, и её происхождение почти наверняка не славянское, а западноевропейское или еврейское. В русском языке она выглядит как инородное вкрапление: нет типичных суффиксов -ов, -ин или -ский, а окончание -им (или -ым) встречается у фамилий, пришедших из немецкого, идиша или прибалтийских языков. Скорее всего, перед нами фамилия ашкеназского еврейского происхождения, записанная на слух.

Основа «эйгим» может восходить к немецкому слову «Eigen» — «собственный», «своеобразный», или к идишскому «эйген» с тем же значением. В еврейской традиции фамилии часто давали по характерным чертам человека: «Эйгим» могло означать «своенравный», «упрямый» или «особенный». Другая версия — это топонимическая фамилия от названия местности, например, от немецкого города или местечка с корнем «Eich-» (дуб) или «Eig-», но это менее вероятно, так как суффикс -им в немецких фамилиях почти не встречается.

Фамилия оформилась, скорее всего, в конце XVIII — XIX веке, когда еврейское население Российской империи и Австро-Венгрии обязали получить наследственные фамилии. В метрических книгах и переписях такие фамилии часто записывали на слух, отсюда возможные варианты написания: Эйген, Эйгин, Эйгим. Носители фамилии Эйгим в дореволюционной России могли быть жителями черты оседлости — западных губерний (Волынская, Подольская, Киевская) или Прибалтики. После революции часть семей мигрировала в крупные города.

В современной России фамилия Эйгим встречается единично. Поиск по базам данных показывает, что её носители живут в Москве, Санкт-Петербурге и на Урале, а также в Израиле и США. Это типичный случай, когда редкая фамилия сохранилась именно благодаря тому, что её не русифицировали, а оставили в исходном звучании.