Фамилия Эйшинский — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет распространённого славянского корня, который сразу подсказал бы значение. Всё внимание — к суффиксу и возможной основе.

Суффикс -ский указывает, что фамилия, скорее всего, образована от географического названия — либо топонима, либо прозвища человека по месту жительства. Такие фамилии в XIX веке часто получали выходцы из духовенства (семинаристы) или дворяне, но в данном случае вероятнее первое: искусственная, «кабинетная» фамилия, которую давали в духовных училищах. Исходным словом могло быть название населённого пункта — например, местечка Эйшишки (историческая территория современной Литвы, ныне Эйшишкес) или похожего поселения в Беларуси или Польше. В таком случае Эйшинский — это «тот, кто родом из Эйшишек».

Вторая версия — от личного имени или прозвища. Основа «Эйш-» может восходить к литовскому или белорусскому корню, связанному со словом «эйти» (идти), либо к древнепрусскому или ятвяжскому имени, где «Эйш-» — сокращение от Эйшмонт, Эйшвид и т.п. В польской ономастике известна фамилия Ejsmont, и Эйшинский мог возникнуть как её вариант через суффикс -ский.

Третья, менее вероятная версия — от немецкого слова «Eisch» (яйцо) или еврейского имени Айзик (Исаак), но фамилия Эйшинский звучит скорее как польско-белорусская, чем как еврейская (для еврейских фамилий типичнее суффиксы -ович, -зон, -ман).

Поскольку фамилия редкая, её носители в России — это, вероятно, потомки выходцев с запада (из бывшей Речи Посполитой), переселившихся в центральные губернии или Сибирь. Основной ареал — не определён, но логично искать корни в Гродненской или Виленской губерниях.

Итог: Эйшинский — фамилия топонимического типа, образованная от названия местечка Эйшишки (Литва) или аналогичного, и закреплённая за выходцами из духовного сословия. Второй вариант — от древнего балтского имени с основой «Эйш-».