Фамилия Еюкин редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать её по составу и вспомнить, как в русском языке образовывались прозвища и фамилии.

Основа фамилии — «Еюк». Скорее всего, это не полное имя, а уменьшительная или прозвищная форма. В русской ономастике есть целый пласт фамилий, образованных от производных форм крестильных имён. Например, имя Евсей (каноническое Евсевий) в народной речи давало формы Евсюк, Евсюта, а Еюк могло быть ещё одним, более редким вариантом того же корня. В этом случае фамилия означает «потомок того, кого звали Еюк», то есть человека с именем Евсей.

Вторая версия — диалектная. В некоторых южнорусских и украинских говорах глагол «еюкать» или «ёкать» означал говорить с характерным произношением, «якать» или издавать нечленораздельные звуки. Тогда прозвище Еюк могли дать человеку с невнятной речью или с определённым говором. Фамильный суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Еюкин, то есть сын или потомок Еюка.

Суффикс -ин в русских фамилиях обычно присоединялся к основам на -а, -я (Петин, Ильин) или к прозвищам, оканчивающимся на согласный. Форма Еюкин — редкий случай, когда суффикс добавлен к основе на твёрдый согласный, что тоже говорит в пользу прозвищного, а не строго именного происхождения (сравните: Фокин, но не «Фок» — имя, а прозвище).

Географически фамилия встречается в центральных областях России и на юге, что подтверждает её связь с живой народной речью. Сословной привязки нет: Еюкиными могли быть и крестьяне, и однодворцы. Сведений о дворянских родах с этой фамилией не обнаружено.

Наиболее правдоподобная версия — происхождение от прозвища Еюк, которое дали по говору или по особенности произношения. Версия с именем Евсей менее вероятна, но не исключена: в старых переписных книгах могли записать человека как «Евсюк», а в быту назвать «Еюк». Точнее сказать трудно — фамилия не попала в крупные академические словари, и её история восстанавливается по аналогии с похожими моделями.