Фамилия Эйжвертин — редкий случай в русском ономастиконе, и её разбор требует обращения к языкам Прибалтики. В основе фамилии лежит литовская или латышская основа. Скорее всего, она образована от литовского слова «eiža» (тропа, дорожка) или от глагола «eiti» (идти). Суффикс «-ин» — типичный русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность: «чей?» — Эйжвертин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Эйжверта. Сама же основа «Эйжверт» — это, вероятно, сложное двухкоренное имя или прозвище: первая часть «эйж-» (от «eiti» — идти), вторая — «-верт» (от литовского «verti» — открывать, или «versti» — переворачивать, валить). В сумме прозвище могло означать «проходчик», «тот, кто открывает путь» или, в переносном смысле, «непоседа», «ходячий».

Географически фамилия тяготеет к западным губерниям Российской империи — территориям современной Литвы и Латвии, а также к смешанным русско-литовским районам (например, бывшая Ковенская губерния). Носители фамилии — это, скорее всего, потомки литовцев или латышей, которые в XIX веке попали в русскую среду (через армию, переселение или крестьянскую миграцию) и получили русифицированное окончание фамилии. Обратите внимание на суффикс «-ин», а не «-ов»: это характерно для фамилий, образованных от основ на -а или -я (Эйжверта → Эйжвертин), что подтверждает балтийское происхождение корня.

Встречаются варианты написания с одной «т» — Эйжверин, что может указывать на описку в документах или на другой диалектный вариант. В любом случае, фамилия не имеет ничего общего с немецкими или еврейскими корнями, как могло бы показаться из-за необычного звучания. Это чисто балтийский след в русской фамильной системе, сохранившийся благодаря тому, что предок когда-то носил литовское прозвище, описывающее его манеру ходить или заниматься каким-то «проходным» ремеслом (например, быть проводником или сторожем у ворот).

По сословной принадлежности определённо сказать сложно: суффикс «-ин» встречается у крестьян, мещан и духовенства, но отсутствие дворянской приставки («-ский») скорее указывает на непривилегированное происхождение. Если ваши предки были из Литвы или Латвии, фамилия могла быть записана при переходе в православие или при получении паспорта в XIX веке.