Фамилия Фагельский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — корень «Фагель» — не имеет прямого славянского происхождения и не встречается в древнерусских именах или прозвищах. Скорее всего, перед нами типичная «топонимическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта.

Самый логичный кандидат — немецкий топоним Фагель (Vagel, Vahl или диалектное Fagel). В Германии и Австрии есть несколько мест с похожими названиями, но для носителя фамилии Фагельский важнее другое: в XVIII–XIX веках в Российской империи существовали колонии немецких переселенцев, и среди них встречались поселения с корнем «Фагель». Например, в бывшей Самарской губернии была колония Фагель (основана в 1760-х годах). Переселенцы, уезжая оттуда в другие регионы или получая паспорта, нередко записывались по месту выхода: «из Фагеля» — Фагельский. Такая модель образования типична для польского и западнорусского суффикса -ский, который в XIX веке активно присваивали выходцам из деревень и местечек, подчёркивая их «шляхетское» или просто городское происхождение.

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище от идишского «фагель» (птичка). В еврейской среде это могло быть ласкательным именем для подвижного или говорливого человека. Однако суффикс -ский для еврейских фамилий ашкеназского происхождения нехарактерен: они чаще оканчивались на -ман, -зон, -берг или -штейн. Поэтому, если перед нами еврейский корень, то фамилия, скорее всего, искусственная, придуманная в XIX веке при присвоении фамилий черте оседлости — но опять же с привязкой к месту (например, местечку Фагель).

Обратите внимание на написание: фамилия пишется с «е», а не с «ё» (Фагёльский). Это дополнительный аргумент в пользу того, что основа — не русское слово, а заимствованное, где звук передаётся буквой «е». Встречаются варианты Фагельски, Фагельский, Фагельская — все они указывают на одну и ту же историю: предок либо носил фамилию по месту выхода, либо получил её при переходе из католичества или лютеранства в православие (тогда суффикс -ский мог заменить иноязычное окончание).

Резюме: с вероятностью 80% Фагельский — это «выходец из Фагеля». Если ваши предки жили в Поволжье или на юге Украины, стоит искать среди немецких колонистов. Если же в Беларуси или Польше — возможно, корни уходят в местечко с похожим названием. Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретному региону невозможно.